6-同文算指通編卷三
同文算指通編卷三
明 李之藻 撰
合數差分法第四下
問四人共分金七百八十五兩多寡不同乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之九各實數幾何其法先併各衰雜數【甲一十則乙七乙十四則丙三丙十二則丁九】併各子以乘各母從小數併起除丁九無併其丙衰係十二又係三則以十二併三依約法三四一十二且作四以乘乙之十四得五十六為乙衰乙係五十六又係七則以五十六併七依約法七八五十六且作八以乘甲衰之十得八十為甲衰已得各衰併數【丁九丙十二乙五十六甲八十共一百五十七數】為第一率以銀總數為第二率以各衰為第三率一 一百五十七數【併衰】
二 七百八十五兩【總銀】
三 九【丁衰】 十二【丙衰】 五十六【乙衰】八十【甲衰】四 四十五兩 六十兩 二百八十兩 四百兩問發兵百人外有領隊四人旗牌六人共破一寨得器械七萬二千四百件即以充犒旗牌比領隊得八分之五兵比旗牌得五分之三各該得若干其法衰作八五三【兵三旗牌五又合三五成八得領隊之衰】各以本數乘本衰【領隊四乘八得三十二旗牌六乘五得三十兵百乘三得三百】合總數為第一率所獲數為第二率各衰所乘三宗為第三率
一 三百六十二【併各衰乘數】
二 七萬二千四百
三 三十二【領隊】 三十【旗牌】 三百【兵】
四 六千四百 六千 六萬
問三人共拾得遺錢三千四十二文甲欲得二之一乙得三之一丙得四之一各該若干【此問併其分數反浮總數盖曰甲視乙則二一之視三一乙視丙則三一之視四一也】其法當先併母尋其通四分三分二分之一者為主依法二三乘得六又乘四併得二十四約之得十二以甲乙丙分之其數皆通【甲二之一則用六乙三之一則用四丙四之一則用三】乃併甲乙丙衰【甲六乙四丙三】共十三為第一率以錢數為第二率分甲乙丙衰作三宗為第三率乘除得數乙得甲三之二丙得甲二之一
一 十三
二 三千四十二文
三 六【甲衰】 四【乙衰】 三【丙衰】四 一千四百四 九百三十六 七百二問三縣共派糧一千四百七石小縣𣲖二分之一次縣𣲖五分之三大縣𣲖十一分之八各該納若干【衰法同前】其法亦以各母相乘以求通數以二乘五又乘十一得一百一十【二五乘得十又十乘十一得一百一十也于是小縣分得五十五次分得六十六大分得八十】則三縣之母數皆通而併之為第一率以糧數為第二率分三縣各衰為第三率
一 二百一【併各衰】
二 一千四百七石
三 五十五【甲衰】 六十六【乙衰】 八十【丙衰】四 三百八十五石 四百六十二石 五百六十石問四人共分銀三百九十六兩甲得二分之一外加十兩乙得五分之三内欠二十兩丙得三分之一外加八兩丁得四分之一内欠六兩每人實數幾何此將總數内除去加數【實在三百七十八兩】加上欠數【共得四百零四兩】乃依前法併其母數【二乘五得一十以乘三得三十又以乘四得一百二十】約之得六十為通數而各以其所得子數通之【甲二之一為三十乙五之三為三十六丙二之一為二十丁四之一為一十五】併為第一率以加除所得銀數為第二率以甲乙丙丁各衰四宗為第三率依準測法得第四率再照數或加或減其所分即總合前數矣
一 一百一兩【併各衰】
二 四百四兩
三 三十【甲】 三十六【乙】 二十【丙】 一十五【丁】四 一百二十 一百四十四 八十 六十問兄弟三人不知歲數但云季得伯四之三仲得伯六之五仲多季只八歲各幾何此帶母子差分也已知兩母為伯衰用併法先併其母四六相乘得二十四為伯衰之實乃用母子互乘以求仲季之衰以四乘五得二十為仲衰以六乘三得一十八為季衰列三率而仲季相去較八歲為二率以仲季二衰之較【一十八減二十餘二】為首率【此以所已知之衰較及歲較求各衰之歲實故用較為首率後皆倣此】
一 二
二 八歲
三 二十四 二十 一十八
四 九十六歲【伯】 八十歲【仲】 七十二歲【季】問四人分錢不知數但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七其丁與丙差四文每人幾何此同上法已知三母即甲衰用併母法四乘六得二十四又自乘得五百七十六為甲衰之實乃以乙丙丁之原母除原子乘以求其子而得四百八十為乙衰四百三十二為丙衰四百零八為丁衰列三率以丙丁較四為二率以丙丁二衰之較二十四為首率【不用約法覽之易曉】一 二十四
二 四
三 五百七十六【甲】四百八十【乙】四百三十二【丙】四百零八【丁】四 九十六 八十 七十二 六十八右二法以借衰互徵求之亦同
問大小船數相等共載鹽四千三百五十引大船每三隻載鹽五百小船每四隻載鹽三百該船幾隻每船載幾引此用重準測法以四之三百及三之五百子母互乘【一得九百一得二千】併得二千九百為首率兩母相乘得十二為次率總鹽為三率求得四率是大小船數即以為第三率分置所載率【五百三百】為次率與相乘又分置兩母【三四】為首率除之得各鹽數
一 二千九百 三 四
二 一十二 五百 三百三 四千三百五十 一十八
四 一十八【大小各船數】二千 一千三百五十問鼇燈一座大小燈毬二等大燈三琖油四兩小燈四盞油三兩其小燈多大燈二之一共用油十八斤七兩大小燈各若干此用重準測法因有二之一立大母二小母三通斤為兩【共二百九十五兩】又通兩為銖【每兩二十四銖共七千八十銖】以先求大小每琖油數取每三每四為首率二十四銖為次率分四兩三兩為三率得第四率為大小每琖油數
一 三 四
二 二十四銖
三 四【大】 三【小】
四 三十二銖 一十八銖
乃以母二乘三十二得六十四銖為大總以母三乘一十八得五十四為小總併得一百一十八為首率以總油【七千八十】為次率分母二母三為三率得第四率是大小琖各數而各以油銖數乘之又以每斤三百八十四銖除之
一 一百一十八
二 七千八十銖
三 二【大】 三【小】
四 一百二十琖【三十二銖乘得三千八百四十銖是十斤】一百八十琖【一十八乘得三千二百四十銖是八斤七兩】問大船三桅六槳小船一桅八槳今望見桅五十七槳二百零四其大小船各幾艘法併大小船每艘桅槳凡九共一十八為第一率以大小共二艘為第二率併桅槳全數得二百六十一為第三率推得大小船共二十九艘減小船之一補大船合問
一 一十八
二 二艘
三 二百六十一
四 二十九艘【内大船一十五小船一十四】
問有銀一萬七千六百九十兩買騾三百匹馬七百匹其每匹價馬多于騾七兩七錢各價幾何此匿價差分法當先除所差而後凖測之以所多七兩七錢乘七百匹得五千三百九十兩以減原銀餘一萬二千三百兩乃併騾三百馬七百共一千匹置首率以減餘銀數置次率一匹為三率推得四率為騾價加七兩七錢即馬價再以各匹數乘之合總
一 一千匹
二 一萬二千三百兩
三 一匹
四 十二兩三錢【騾價】 二十兩【馬價】
又法以所差七兩七錢乘三百匹得二千三百一十兩加入總銀共得二萬兩為次率如法凖測得二十兩為馬每匹之價減較七兩七錢亦得騾價
一 一千匹
二 二萬兩
三 一匹
四 二十兩【馬價】 十二兩三錢【騾價】問以銀二萬九千二百八十兩買上田三百畝中田一百五十畝下田四百五十畝其上價比中價每畝多四兩七錢中價比下價每畝多一十三兩五錢各幾何此亦匿價差分法當除兩差之積而後算之以一十三兩五錢乘三百得四千○五十兩以一十八兩二錢乘一百五十得二千七百三十兩併得六千七百八十兩以減原銀餘二萬二千五百兩即以置次率却併三等田數得九百畝置首率一畝為第三率推得每畝二十五兩為第四率是下田價加一十三兩五錢為中田價再加四兩七錢為上田價再以各數乘之合總
一 九百
二 二萬二千五百兩
三 一畝
四 二十五兩【下】
又法增差積算之以四兩七錢乘三百得一千四百一十兩又以兩差一十八兩二錢乘四百五十得八千一百九十兩併得九千六百兩加入原總銀得三萬八千八百八十兩為次率與三率一畝相乘首率九百除之得上田每畝價四十三兩二錢減十三兩五錢即中田價再減四兩七錢即下田價
問官銀一萬七百七十八兩六錢五釐糴米麥豆三色均平其每一石價米二兩三錢五分麥一兩九錢五分豆一兩四錢五分各價幾何各石幾何併三價共五兩七錢五分為法置第一率總銀為第二率列三色每石價為第三率推得第四率是各價數其各石數以法徑除總銀即得
一 五兩七錢五分
二 一萬○七百七十八兩六錢○五釐
三 二兩三錢五分 一兩九錢五分 一兩四錢五分四 四千四百○五兩 三千六百五十五兩 二千七百一十八兩 一錢六分九釐【米】 三錢五分三釐【麥】 兩○八分三釐【豆】三色共一千八百七十四石五斗四升
和較三率法第五
凡數分合不離三率而互和難測則立較以測之立中率以較之凡兩數三數多數悉與中率相較而互置較位為第三率以較積為第一率諸如前
問上酒每斗價二錢中酒每斗價一錢二分今雜併二酒每斗立價一錢五分則此斗酒内有上酒若干中酒若干其法先定三等之程列所立價【一錢五分】次連列上中二價與較而列上差數于中左列中差數于上左互對次併兩差列左下而以併差為第一率以一斗為第二率以各差為第三率
【一十五】上中二價上【二十】中【十二】
相較差 中【三】 上【五】 差積【八】
一 八
二 一斗
三 三【上】 五【中】
四 八分斗之三 八分斗之五
問甲金一兩准銀一十五兩乙金一兩准銀一十二兩今欲鎔為一處使母金一兩准銀一十四兩則甲乙金各該幾兩亦列法如左較之併差為首率一兩為次率各差為三率
【一十四】價甲【十五】 乙【十二】
較 【二 一】 差積【三】
一 三
二 一兩
三 二【甲】 一【乙】
四 三分兩之二 三分兩之一
問玉率方寸重七兩石率方寸重六兩今有璞方三寸重一百七十六兩内玉石各若干法以見方三寸自乘再乘得立方二十七寸以通玉石【玉該一百八十九兩石該一百六十二兩】各列右立總重數互較得數列左併差為首率開方寸為二率分差為三率
【一百七十六】玉【一百八十九】石【一百六十二】
【一十四 一十三】 差積【二十七】
一 二十七【差】
二 二十七【寸】
三 一十四【玉】 一十三【石】
四 一十四【乘重九十八兩】一十三【乘重七十八兩】問銀裹金方四寸共重九百零四兩每銀方寸重十二兩金方寸重十六兩各若干以四寸自乘再乘得開方六十四寸以通金銀【銀一千二十四兩金七百六十八兩】以總重互較三率如前
【九百四】銀【一千二十四】金【七百六十八】
【一百三 一百二十六 十】 差積【二百五十六】
一 二百五十六
二 六十四【寸】
三 一百三十六【銀】 一百二十【金】
四 三十四【乘得五百四十四兩】三十【乘得三百六十兩】問椒一斤價四錢丁香一斤價三錢桂皮一斤價六錢阿魏一斤價一兩縮砂一斤價八錢今以銀七錢買上五色共一斤則每色該得若干列法如左立七錢為主餘物以次列之較其所差而依次互列須易其位大抵有對者對互【椒砂互丁魏互】無對者另求一對【桂無對借砂作對而互又列桂較之一于砂較三之旁】而增系之凡相對互位者務取一大于立價一小于立價如砂數大對椒數之小亦以差倂為第一率一斤為第二率併各物較為三率
【七錢】椒【四】丁【三】桂【六】魏【十】砂【八】
【一 三 一 四 三乙】 差積【十三】
一 一十三
二 一斤
三 一【椒】 三【丁香】 一【桂皮】 四【阿魏】 四【砂】四 十三【分斤之一】十三之三 十三之一 十三之四 十三之四又列法但取一大一小雜互更位【椒砂互椒魏又互丁砂互桂砂又互丁魏互桂魏又互】凡六互得差積二十八【椒丁桂俱四魏砂俱八】若俱大數俱小數者則不可互耳【椒丁桂俱小魏砂俱大】其與立數等者亦可互但作○以倒其所互乃以二十八為第一率分各差積為第
三率 【七錢】椒【四】丁【三】桂【六】魏【十】砂【八】
【一 一 三 三 三三 三 一 四 四】 差積【二十八】
一 二十八 【一 一】
二 一斤
三 四【椒】 四【丁】 四【桂】 八【魏】 八【砂】四 二十八【分斤之四】二十八【之四】二十八【之四】二十八【之八】二十八【之八】又法隨意易位亦以大數互小數比前稍異亦得差積十三
【七錢】椒【四】丁【三】桂【六】魏【十】砂【八】
【三 一 一 三 四一】 差積【十三】
一 十三
二 一斤
三 三【椒】 一【丁】 一【桂】 三【魏】 五【砂】四 十三【分斤之三】十三之一 十三之一 十三之三十三之五問鵝氄段大綠者每丈四兩天青每丈六兩大紅每丈十兩今以銀四百八十兩買氄八十丈則各色各該幾丈其法先以總價和總丈之數而匀之【每丈得六兩】立六為中數依前互法列之
【四 六 一十四十互六十又互六兩四 四 二】差積
一 一十
二 八十丈
三 四【綠】 四【青】 二【紅】
四 三十二丈 三十二丈 一十六丈問有酒四等甲酒每瓶二錢一分乙酒每瓶二錢七分丙酒三錢丁酒四錢今有酒共三百瓶每瓶立價三錢三分則每酒若干瓶依法列之但此以三十三為主數【即三錢三分】而其餘惟四十【即四錢】為大其二十一【即二錢一分】二十七【即二錢七分】三十【即三錢】皆小數則此三小數皆與四十之大數相互云共積四十二為第一率
【二錢 二錢 三錢 四三錢三分 一分 七分】
【七 七 七 十二六】差積【四十二】
一 四十二 【三】
二 三百瓶
三 七 七 七 二十一四 五十瓶 五十 五十 一百五十問銀四百兩買藥四百斤内丁香每斤該六錢胡椒每斤該七錢桂九錢蘇合一兩一錢辰砂一兩二錢阿魏一兩六錢每色各該幾斤方合總數其法亦先折中價如四百斤需四百兩則每一兩得一斤其中價乃依互法參之
【一十】丁【六】椒【七】桂【九】合【十一】砂【十二】魏【十六此以丁魏互又丁合互椒砂互又椒魏互】
【六 二 二 四 三 四 桂砂互一 六 一 三 差積三十二】
一 三十二
二 四百斤
三 七【丁】 八【椒】 二【桂】 四【合】 四【砂】 七【魏】四 【八十七斤又二之一】一百 二十五 五十 五十 八十【七斤又二之一】又法
【一十】丁【六】椒【七】桂【九】合【十一】砂【十二】魏【十六此以丁互合又互砂又互魏以】
【一 一 一 四 四 四 椒互合亦互砂二 二 二 三 三 三 互魏以桂互合六 六 六 一 一 一 亦互砂互魏以上三位徧互下】
一 五十一 【三位差積五十一】二 四百斤
三 九 九 九 八 八 八
四 【七十斤又五十一分斤之三十】同上 同上 【六十二斤又五十一之三十八】同上 同上【右五十一分斤之三十以求兩者化一斤為一千六百分以子數三十乘之以母數五十一除之得九兩四錢一分又五十一之九也】
問金鑄編鐘一口計重三百兩俱九六成色今見有九九成色及九三成色二等金約該每用若干此以九六為中價依法互之
【九六】甲金【九九】 乙金 【九一】
【五 三】差積【八】
一 八
二 三百兩
三 五【甲】 三【乙】
四 一百七十七兩五錢 一百一十二兩五錢問米麥五百石共價四百零五兩七錢米每石價八錢六分麥每石價七錢二分五其各石數價數若干先以米麥每石之價乘五百石【米得四百三十兩麥得三百六十二兩五錢】即以總價立為中率先得石數次得價數
【四百三四百五 十兩】麥【三百六十二兩五錢】
【兩七錢 四十三 二十四兩兩二錢 三錢】差積【六十七兩五錢】
一 六十七兩五錢
二 五百石
三 四十三兩二錢【米】 二十四兩三錢【麥】四 三百二十石【乘石價得二百七十五兩二錢】一百八十石【乘石價得一百三十兩五錢】問銀二十八兩二錢買銅錫鐵共重三百斤其價銅一斤銀一錢五分錫一斤銀九分鐵一斤銀四分此三物各該若干此貴賤衰分三色者以總物歸總銀立九分四為中價
總疋除總銀立五錢八分一二毫五絲為中價
一 一十六萬
二 一百六十疋
三 三千六百二十五【綾羅同】 四千三百七十五【紗絹同】四 三十六疋又四之一 四十三疋又四之三【以各疋價乘之合總】又法【先以四約總疋得羅紗各四十疋以減總疋餘八十疋為綾絹共數又于總價内減羅價二十八兩紗價二十兩餘四十五兩為綾絹共價乃以疊借互徵之法推之前銅錫鐵三色亦然】
借衰互徵法第六
數有隱伏非衰分可得者則别借虚數以類徵之或合率增減或母子射覆如藏鬮然借彼徵此借虚徵實大抵即三率之法而觸類長之
問三人共買宅一區用價二千七百兩其捐價則乙視甲加倍丙視甲乙又加倍各若干此倍增法也隨意立一數為甲衰但用小數而以乙丙衰遞加之【如甲衰一則乙衰二丙衰六也如甲衰六則乙衰十二丙衰三十六也餘倣此】并各衰為第一率【甲衰一者一二六共九也甲衰六者六及十二及三十六共五十四也餘倣此】隨取一衰為第二率【且用甲】以總價為第三率依互測法得甲數倍之得乙數二倍之得丙數
一 五十四
二 六【此只借甲衰用乙用丙皆同】
三 二千七百
四 三百【甲】 六百【乙】 一千八百【丙 乙丙皆從甲倍出】問貯絹不知幾何但云其三之一其四之一其五之一併得四千七百疋其實數幾何曰此尋一通數可以兼三之一及四之一及五之一者而測之如用六十以通各分【三之一是二十也四之一是十五也五之一是十二也】併之【共四十七】為第一率即以六十為第二率【四十七出于六十】絹總數為第三率一 四十七
二 六十
三 四千七百
四 六千疋
問廐馬不知幾匹但云加一倍又加二之一又加三之一又加四之一又加一共得一百十二匹今算實幾匹可用前法否曰此有最後所加一數即不同前法當先減一數只以一百十一算之次立通數可兼各衰者如用十二為通數加一倍【二十四】又加二之一【六】及三之一【四】四之一【三】共得三十七為第一率即以十二為第二率就前一百十二數内減一為第三率【一百十一】凖而測之知三十七出于十二則知一百十一出于何數矣再加一合問
一 三十七
二 一十二
三 一百一十一
四 三十六 再加一乃三十七匹
問牧羊不知數但云加一倍又加二之一又加四之一外加一得一百其原數若干此亦除去加一數只用九十九為第三率而另借一數為通數如用一十二為次率以加一倍【二十四】加二之一【六】四之一【三】併得三十三為首率依法推之知一十二出于十三則知九十九所出也再加一合問
一 三十三
二 一十二
三 九十九
四 三十六【倍之為七十二加二之一得九十加四之一得九十九外加一得一百】問價銀五千兩買駿馬一匹園宅一區園價比馬多三倍宅比園多四倍各價幾何此與首問法同隨意立一數通各衰假如立馬衰三十園宅以次增衰【園多三倍得一百二十宅又多園四倍該六百】併為第一率【七百五十】於各衰隨取一數為第二率【且用馬衰】總銀為第三率【五千兩】如凖測法得第四率【如用馬則得馬價餘依倍推之】
一 七百五十兩
二 三十【馬】 一百二十【園】 六百【宅】
三 五千兩
四 二百【馬】 八百【園】 四千【宅】
問入園摘瓜摘過三分之二又五分之一尚剩三十六瓜此園原有幾瓜法先求一通數内除三之二及五之一而剩三十六數者假如借立三百内減三之二除二百亦于三百内減五之一除六十通減二數只餘四十為第一率以三百為第二率知四十出于三百則知三十六出于何數矣
一 四十 【右所云三之二又五之一者倂之未滿原數故可以右法推之若云三之一又五之三則】二 三百 【浮于原數知為虚設不必算矣】
三 三十六
四 二百七十【原瓜數】
問二分之一三分之一四分之一五分之一六分之一共併得五百二十二數其原數幾何先立一通數可剖為二分之一以至四五六分皆可者如借六十為主依法分之【其二之一為三十其三之一為二十其四之一為十五其五之一為十二其六之一為一十】併各率【共八十七】為第一率以六十為第二率知八十七出于六十則五百二十二出于何數可推也以五百二十二為第三率
一 八十七
二 六十
三 五百二十二【其二之一乃一百八十其三之一乃一百二十其四之一乃九十其五之】四 三百六十 【一乃七十二其六之一乃六十其五百二十二數】問倉中有粟幾石不言其數但言外加二之一又三之一又四之一又加一百石便成三百石此其原粟幾何其法先減一百石在外只就二百起算乃隨借一數可以通二之一及三之一及四之一者如借二十四為通數外加二之一【一十二】又加三之一【八】四之一【六】併之【五十】為第一率所借二十四為第二率知五十出于二十四則二百出于何數可推也以二百為第三率而得第四率外加所減【一百】合問
一 五十
二 二十四
三 二百
四 九十六石【外加二之一為四十八加三之一為三十二加四之一為二十四又加一百共三百】問水碓五副大小不等共舂麥五十石甲碓每一時舂七斗乙碓每一時舂五斗丙四斗丁三斗戊一斗五碓齊舂須幾時可完完時每碓各舂得幾何其法隨意立一時數假如借四箇時畢之以計各碓所舂【甲二十八乙二十丙一十六丁十二戊四共得八十】併為第一率四時為第二率知八石畢于四時則五十石可推也以五十石為第三率
一 八石
二 四時
三 五十石
四 二十五時【以各碓乘甲以七乘得一十七石五斗乙五乘得一十二石五斗丙四乘得一十石丁三乘得七石五斗戊一乘得二石五斗共五十石】
問貸貲商販三次俱獲倍息每次歸還三百兩三次母子適盡原貸若干先借一為母貲以加三次倍息【初一次二其三得四】併得八為首率減母貲之一只併三次倍息【一二四】併得七為次率知七出於八則知三百原母所出矣以三百為第三率
一 八
二 七
三 三百兩
四 二百六十二兩五錢
問商販四次俱獲倍息每次費銀九十六兩四次子母俱盡原母若干亦借一為母加四次倍息【一二四八】併得一十六為首率減母貲之一只併四次倍息【一二四八】併得一十五為次率知十五原於十六則知九十六原於何數也以九十六為三率
一 一十六
二 一十五
三 九十六兩
四 九十兩
問有商挾貲赴集初次所獲比母銀多三之二以併入母銀再往獲五之四三次往又獲四之三實計所獲併母銀共四百兩所原挾貲若干其法先借一數以遞乘各母而例推之假如借一十為通數以乘各母【乘三得三十以三十乘五得一百五十以一百五十乘四得六百】併之為第一率以所借一十為第二率知六百出于一十而四百之所從出可知也以四百為第三率【按此條法誤置子數不用只以母數逓乘與題問不合】
一 六百
二 一十兩
三 四百
四 六兩又三分兩之二【此係初販原貲三乘得二十兩又五乘得一百兩又四乘得四百兩】問攜酒郊遊三入肆中俱飲酒一斗九升每飲添酒輒倍餘酒至三次酒盡原攜若于法借一為原酒加三次倍率【一二四】併得八為首率減原酒之一只三次倍率七為次率以所飲一斗九升為三率知七出于八則知一斗九升所自出矣
一 八
二 七
三 一斗九升
四 一斗六升八之五【即六合二勺五抄】
又法併三次倍率七以乘所飲【一斗九升】得一石三斗三升減半三次得原攜數同前
問載米賑濟不言其數每次散米一千五百石亦每次糴增俱倍餘米之數五賑恰盡無餘原米若干法立一為原數加五次倍率【一二四八十六】併得三十二為首率減原數一只併五倍率三十一為次率知三十一之原于三十二即知一千五百之原
一 三十二
二 三十一 【二三相乘得四萬六千五百石以減半五次亦同四率】三 一千五百石
四 一千四百五十三石三十二之四【即一斗二升五合】問立一虚數以乘四得數又以乘三得數又以乘六得數外加一十共八百前所立虚數幾何其法先除所加一十只以七百九十起算亦借一通數假如借一十為主以遞乘得數【乘四得四十又乘三得一百二十又乘六得七百二十】併之為第一率【七百二十】以所借為第二率【一十】知七百二十之出于一十而七百九十之所從出可知也以七百九十為第三率而得第四率乃以一十加之【按此條内併之二字衍末六字應刪】一 七百二十
二 一十
三 七百九十
四 一十又三十六之三十五【以乘四得四十三又九之八再以乘三得一百三十
一又三之二又乘六得七百九十加一十合問】
問老人不知其年但云加二之一又減四之一得九十九歲實年幾何其法借一虚數外加二之一又減四之一而例之假如借八十為算依法加減【加二之一得一百二十又減四之一得九十】得數為第一率八十為第二率知九十之出於八十而九十九之所從出可凖也以九十九為第三率一 九十
二 八十
三 九十九
四 八十八
問遠望一塔上露出二丈四尺其下有樹遮之云尚有三分之一又五分之二共該高幾何亦借立一數以其三之一及五之二類凖之如借立三十為主酌減餘分【三之一乃一十五之二乃一十二】以其所剩數【該剩八即所露】為第一率以三十為第二率知八之出于三十而二十四尺可測也以二十四為第三率
一 八尺
二 三十尺
三 二十四尺
四 九十尺 【此塔高之數内減三之一乃三丈減五之二乃三丈六尺此外露二丈四尺】問旗竿一根其三之一是白色五之一是黑色九之二是青色外尚餘十二尺紅色竿長幾何亦借一數以通各數而觀其所剩以類徵之假如借四十五數以減各分【減三之一得十五減五之一得九減九之二得一十】其餘【四十五内減前各數剩十一】為第一率以所借為第二率【四十五】知十一之出於四十五而十二之所從出可推也
一 一十一
二 四十五
三 一十二尺
四 四十九尺又十一分尺之一【其白色三之一乃十六尺又十一之四黑色五之一乃九
尺又十一之九青色九之二乃十尺又十一之十也】
問白布三十疋青布四十疋共價六百六十兩青布每疋比白布價多一倍各價幾何法借一虚數為白價倍之為青價而以前疋數乘之假如借立四兩倍得八各乘青白【四乘白得一百二十八乘青得三百二十】併之【四百四十】為第一率以所借四為第二率知四百四十之出于四而六百六十之所出可知也以六百六十為第三率
一 四百四十
二 四兩
三 六百六十
四 六兩 【此係白價倍之得青價十二兩各乘疋數白得一百八十兩青得四百八十兩】
同文算指通編卷三
