2-弧矢筭術
弧矢筭術 明 顧應祥 撰
圓徑與截矢求截弦
術曰半徑為弦半徑减矢為股各自乘相减餘為勾筭平方開之得勾即半截弦
又曰以矢减徑以矢乘之即半截弦筭
圓徑十寸從旁截一弧矢闊一寸問截弦
答曰六寸
術曰半徑自之得二十五 半徑减矢自之得一十六寸相减餘九平方開之得三倍之即截弦
又曰圓徑自之得一百為弦筭圓徑减倍矢自之得六十四為股筭相减餘三十六為勾筭平方開之得全弦
圓徑十三步截矢闊四步問截弦
答曰十二步
術曰半徑筭四十二步【二五】减矢半徑筭六步【二五】相减餘三十六步為勾筭
又曰全徑筭一百六十九 减倍矢徑筭二十五相减餘一百四十四平方開之得全截弦
圓徑九十步截矢九步問截弦
答曰五十四步
術同
圓材徑二尺五寸鋸板欲厚七寸問闊幾何
答曰板闊二尺四寸
術曰圓徑為弦自之得六十二尺五寸 板厚為勾自之得四尺九寸相减得五十七尺六寸為股筭平方開之
【闕】
<子部,天文算法類,算書之屬,弧矢算術,弧矢算術>
<子部,天文算法類,算書之屬,弧矢算術,弧矢算術>
商得
一寸 置一於左上為法 置一乘上亷仍得一十四寸 置一隅因得五以减下亷餘三十五寸 置一自之以乘下亷仍得三十五寸併上亷得四十九為下法
圓徑九十步從旁截積二百八十三步半問截矢答曰矢九步
術曰倍積自之得三十二萬一千四百八十九步為正實 四因積得一千一百三十四為上亷 四因徑得三百六十為下亷 五為負隅 商得九 置一於左上為法 置一乘上亷得一萬○二百○六置一隅因得四十五以减下亷餘三百一十五 置一自之以乘餘下亷得二萬五千五百一十五併上亷共二萬五千七百二十一為下法
圓徑九十步從旁截積八百一十步問矢
荅曰矢一十八步
術曰倍積自之得二百六十二萬四千四百爲正實四因截積得三千二百四十為從上亷 四因圓
徑得三百六十為從下亷 五爲負隅 初商一十置一於左上為法 置一乘上亷得三萬二千四
百 置一以隅因之得五十以减從下亷餘三百一十 置一自之以乘餘下亷得三萬一千 併上亷共六萬三千四百為下法與上法相乘除實六十三萬四千 餘實一百九十九萬○四百未盡 倍上亷得六萬四千八百初商自之三因得三百為下亷方法 初商三之得三十為下亷亷法 初商自乘再乘隅因得五千為下亷减隅 次商八 置一於左上為法 置一乘上亷得二萬五千九百二十併倍上亷共九萬○七百二十 置一併入初商得一十八以隅因之得九十以减從下亷餘二百七十以方法乘之得八萬一千 置一乘亷法得二百四十以乘餘下亷得六萬四千八百 置一自之得六十四以乘餘下亷得一萬七千二百八十减去减隅五千止存一萬二千二百八十 下亷方亷隅共一十五萬八千○八十併上亷共二十四萬八千八百為下法與上法相乘除實盡
又術次商八 置一於左上為法 倍初商加次商得二十八以乘上亷得九萬○七百二十 置一隅因得四十以减餘下亷止存二百七十倍初商加次商併初次商因之得五百○四加初商自之一百共六百○四以乘二百七十得一十六萬三千○八十以初商自乘再乘隅因得五千减之止存一十五
萬八千○八十併上亷共二十四萬八千八百為下法
又為添積開三乘方法
術曰倍積自之得二百六十二萬四千四百為正實四因截積得三千二百四十為上亷 四因圓徑
得三百六十為下亷 五為負隅
初商一十 置一於左上為法 置一自之又自之得一萬為三乘方面以隅因之得五萬為益實加入正實得二百六十七萬四千四百為通實 置一乘上亷得三萬二千四百 置一自之以乘下亷得三萬六千併上亷共六萬八千四百為下法與上法相乘除實六十八萬四千 餘實一百九十九萬○四百未盡為次商正實
次商八 置一於左上為法 置一加初商自之又自之得一十○萬四千九百七十六為三乘方面以隅法因之得五十二萬四千八百八十内减初益實五萬餘四十七萬四千八百八十為益實加入次正實共二百四十六萬五千二百八十為通實 倍初商加次商得二十八以乘上亷得九萬○七百二十倍初商加次商得二十八併初次商一十八相因
加初商自乘共六百○四以乘下亷得二十一萬七千四百四十 併上亷共三十○萬八千一百六十與上法相乘除實盡
圓徑八十九步從旁截積一千三百一十二步半問截矢
答曰矢二十五步
不用倍積術曰積自之得一百七十二萬二千六百五十六步【二五】 截積一千三百一十二步半為上亷徑八十九步為下亷以一步二分五釐為負隅初商二十 置一於左上為法 置一乘上亷得二萬六千二百五十 置一以隅因之得二十五以减下亷餘六十四 置一自之以乘餘下亷得二萬五千六百併上亷得五萬一千八百五十為下法與上法相乘除實一百○三萬七千 餘實六十八萬五千六百五十六步二五未盡
次商五 置一於左上為法 置一以隅因之得六步二分五釐以减餘下亷餘五十七步七分五釐倍初商加次商得四十五以乘上亷得五萬九千
○六十二半 倍初商加次商併初次商因之得一千一百二十五加初商自之四百共一千五百二十五以乘餘下亷得八萬八千○六十八步七五 内减初商自乘再乘隅因一萬 止存七萬八千○六十八步七五併上亷共一十三萬七千一百三十一步二五 與上法相乘除實盡
解曰弧矢狀類勾股勾股得直方之半故倍其積以股除之即得勾弧背曲倍積則長一弦而又一矢以矢乘積倍之恰得一弦一矢之數因未知矢故以積自乘為實約矢一度乘積以為上亷兩度乘徑以為下亷併之為法而後可以得矢用三乘者何也積本平方以積乘積是兩度平方矣故用三乘方法開之上亷下亷俱用四因者何也倍積則乘出之數為積者四故上下亷俱四以就之减徑者何也徑乃圓之全徑矢乃截處之勾矢本减徑而得故亦减徑以求矢五為負隅者何也凡平圓之積得平方四之三在内者七五在外者二五不拘圓之大小每方一尺該虚隅二寸五分四其矢得四四其虚隅得一合而為五亦升實就法之意如不倍積亷不用四因以一二五為隅法亦通 或不减徑作添積三乘方法亦通
圓徑與截積求截弦
術曰倍積以矢除之减矢即弦
又法用矢徑求弦術
圓徑八十九步從旁截積一千三百一十二步半問截弦
答曰弦八十步
術曰倍積得二千六百二十五步以求出矢二十五除之得一百○五步乃一弦一矢减矢即弦
又曰倍矢减徑餘三十九自之得一千五百二十一為勾筭全徑自之得七千九百二十一為弦筭相减餘六千四百為股筭平方開之
若求弧背以徑除矢筭即半背弦差
圓徑與弧背求矢
術曰半弧筭徑筭相乘為實徑乘徑筭為從方徑筭為上亷徑背相乘為下亷以上亷减從以隅减下亷三乘方法開之
平圓徑十尺從旁截處弧背八尺八寸問矢
答曰矢二尺
術曰半弧背自之得一十九尺三寸六分 徑自之得一百尺 相乘得一千九百三十六尺為正實徑乘徑筭得一千尺為從方 徑筭一百尺為上亷全背乘徑得八十八尺為下亷
約商二尺 置一於左上為法 置一乘上亷得二百尺以减從方餘八百尺 置一自之得四以减下亷餘八十四尺 又以二乘餘下亷得一百六十八尺 併從方共九百六十八尺為下法
又術商矢减徑存八尺以矢乘之得十六平方開之即得半弦
平圓徑九十步旁截邊弧背五十五步八分問矢答曰九步
術曰半背筭七百七十八步四一 徑筭八千一百二筭相乘得六百三十○萬五千一百二十一為正實 徑乘徑筭得七十二萬九千為從方 徑筭八千一百為上亷 徑背相乘得五千○二十二為下亷如前法求之
平圓徑九十步旁截弧背七十九步二分問矢
答曰矢一十八步
術曰半弧筭一千五百六十八步一六 徑筭八千一百 二筭相乘得一千二百七十○萬二千○九十六為正實 徑乘徑筭得七十二萬九千為益從方 徑筭八千一百為上亷 徑背相乘得七千一百二十八為下亷
初商一十 置一於左上為法 置一乘上亷得八萬一千以减從方餘六十四萬八千 置一自之得一百以减下亷餘七千○二十八 置一乘餘下亷得七萬○二百八十併减餘從方共七十一萬八千二百八十為下法與上法相乘除實七百一十八萬二千八百餘實五百五十一萬九千二百九十六未盡
次商八 置一於左次為上法 倍初商加次商得二十八以乘上亷得二十二萬六千八百以减益從方餘五十○萬二千二百為從方 併初次商得一十八自之得三百二十四加初商自之一百為四百二十四以减下亷餘六千七百○四 倍初商加次商得二十八因之得一十八萬七千七百一十二併入從方共六十八萬九千九百一十二為下法與上法相乘除實盡
解曰徑除矢筭得半背弦差今以弧背求矢故亦用半背筭與徑筭相乘為實以徑乘徑筭為從方而從方内多一矢乘徑筭之數故以徑筭為上亷以矢乘而减之然從方得矢之方而未得矢之亷也故又以全背與徑相乘為下亷而下亷之中又多一矢自乘之數故又約矢以减之而以餘數乘矢為下亷併從方以為法
假如周天徑一百二十一度七十五分二十五秒【歷書中不用秒故因之】
黄赤道内外弧背二十四度 問矢度
答曰四度八十四分八十二秒
術曰半弧背自之得五百七十六度為半弧背筭周天徑自之得一萬四千八百二十三度○六分二十五秒為徑筭 二筭相乘得八百五十三萬八千○八十四度為正實 徑乘徑筭得一百八十○萬四千七百○七度八十五分九十三秒七五為益從方 以徑筭為上亷 倍半弧背得四十八度以乘周徑得五千八百四十四度為下亷
初商四度 置一於左上為法 置一乘上亷得五萬九千二百九十二度二十五分以减益從方餘一百七十四萬五千四百一十五度六十○分九十三秒七五置一自之得一十六度以减下亷餘五千八百二十八度又以四度因之得二萬三千三百一十二度為從亷併從方共一百七十六萬八千七百二十七度六十○分九十三秒七五為下法與上法相乘除實七百○七萬四千九百一十○度四十三分七十五秒
餘實一百四十六萬三千一百七十三度五十六分二十五秒
次商八十分 置一於左上為法 置一倍初商共八度八十分以乘上亷得一十三萬○四百四十三度九十五分以减益從方餘一百六十七萬四千二百六十四度九十○分九十三秒七五為從方 置一併初商自之得二十三度○四分加初商自之一十六度共三十九度○四分以减下亷餘五千八百○四度九十六又以八度八十分因之得五萬一千○八十三度六十四分八十秒為從亷 併從方共一百七十二萬五千三百四十八度五十五分七十三秒七五為下法與上【闕】
<子部,天文算法類,算書之屬,弧矢算術,弧矢算術>
<子部,天文算法類,算書之屬,弧矢算術,弧矢算術>
度九十九分一十八秒五二
七六又以九度六十九分六十二秒乘之得五萬六千二百○八度七十九分二十四秒○二七三一五一二為從亷 併從方共一百七十一萬七千一百八十九度二十七分三十一秒六五二三一五一二為下法與上法相乘除實三百四十三度四十三分七十八秒五四六三三○四六三○二四
餘實一百○五度○九分五十五秒五三○○一七六九六九七六不勾一秒之數
圓徑與弧背求截弦
術曰求得矢用矢求弦術
圓徑與弧背求截積
術曰求得矢用矢徑求積
截積與截矢求截弦
術曰倍積减矢筭餘如矢而一即弦
又曰倍積以矢除之减矢
圓不知徑從旁截積二百八十三步二分步之一矢闊九步問截弦
答曰截弦五十四步
術曰倍積得五百六十七步减矢筭八十一餘四百八十六以矢除之得五十四為弦
圓不知徑從旁截積八百一十步矢闊一十八步問截弦
答曰截弦長七十二步
術同
截積與截弦求截矢
術曰倍積以弦為從方平方開之
圓不知徑從旁截積二百八十三步二分步之一截弦長五十四步問矢
答曰九步
術曰倍積得五百六十七為實 以五十四為從方約商九 置一於左上為法 置一帶從得六十三為下法與上法相乘除實盡
圓不知徑從旁截積八百一十步弦長七十二步問矢答曰矢一十八步
術曰倍積得一千六百二十為實 以七十二為從方
初商一十 置一於左上為法 置一帶從方共八十二為下法與上法相乘除實八百二十 餘實八百 倍初商得二十帶從方共九十二為方法次商八 置一於左上為法 置一帶方法共一百為下法與上法相乘除實盡
截積與截矢求圓徑
術曰先求出弦半之為筭如矢而一即矢徑差又曰積自乘减矢自乘乘積餘為實矢自乘再乘為法除之加虛隅即徑
圓不知徑從旁截積六十二步半矢五步問徑
術曰積自之得三千九百○六步二五 矢自之乘積得一千五百六十二步五相减餘二千三百四十三步七五為實矢自乘再乘得一百二十五為法除之得一十八步七五矢乘虚隅一步二分五釐得六步二分五釐加入即圓徑二十五
截積與截弦求圓徑
術曰先求得矢矢除半弦筭加矢即徑
圓不知徑從旁截積一千三百一十二步半截弦長八十步問圓徑幾何
答曰圓徑八十九步
術曰先倍積以弦為從方平方開之得矢二十五步後用半弦自之得一千六百步以矢除之得六十四為矢徑差加矢即圓徑
截積與截矢求截弧背【弦求弧背同】
術曰先求得徑以除矢筭得半背弦差
截矢與弦求圓徑
術曰半弦自之如矢而一為矢徑差
圓不知徑從旁截一弧矢闊九步弦長五十四步問圓徑
答曰圓徑九十步
術曰半弦自之得七百二十九以矢除之得八十一為矢徑差加矢即徑
截矢與弦求截弧背
術曰先求得徑以除矢筭為半背弦差
截矢與截弦求截積
術曰以矢加弦以乘矢得二積
截弦與外周求截矢【外周乃割殘之周也】
術曰弦筭半弦筭相乘四而三之為實併弦及殘周乘半弦筭為益方倍半弦筭加弦筭為從上亷併弦及殘周為下亷以隅併上亷减從以餘從併下亷為法三乘方法開之
平圓旁割一弧截處弦五十四步外殘周二百一十四步二分問截矢幾何
答曰矢九步
術曰弦自之得二千九百一十六為弦筭 半弦自之得七百二十九為半弦筭 二筭相乘得二百一十二萬五千七百六十四四而三之得一百五十九萬四千三百二十三為正實 弦併殘周共二百六十八步二分以半弦筭乘之得一十九萬五千五百一十七步八分為益方 倍半弦筭加全弦筭得四千三百七十四為從上亷 弦併殘周得二百六十八步二分為下亷一為隅法
商得九 置一於左上為法 置一乘上亷得三萬九千三百六十六為减亷 置一自之為八十一以乘下亷得二萬一千七百二十四步二分為益亷置一自乘再乘得七百二十九為隅法併入减亷共四萬○○九十五 以减從方餘一十五萬五千四百二十二步八分併入下亷共一十七萬七千一百四十七步為下法
圓田一段西邊被水浸入一弧弦長二十步外殘周五十三步問矢闊田徑田積
答曰截矢闊五步圓徑二十五步 弧背二十二步術曰如積求之得三萬為正實 七千三百為益方六百為從上亷七十三為益下亷 一為正隅 三乘方開之得矢闊 矢除半弦筭加矢得徑 倍矢筭以徑除之得背弦差加弦即弧背 徑自之四而三之得田積
圓田水浸一弧弦長七十二步外有殘周一百九十○步八分問矢闊
答曰矢闊一十八步 弧背七十九步二分
圓徑九十步 原田二十五畝三分一釐二毫五絲術曰先求矢闊 弦筭五千一百八十四 半弦筭一千二百九十六相乘得六百七十一萬八千四百六十四步四歸三因得五百○三萬八千八百四十八為正實 併弦及殘周共二百六十二步八分以半弦筭乘之得三十四萬○五百八十八步八分為益從方 倍半弦筭加全弦筭得七千七百七十六為减上亷 弦併殘周二百六十二步八分為益下亷
初商一十 置一於左上為法 置一乘减上亷得七萬七千七百六十為减亷 置一自之以乘益下亷得二萬六千二百八十為益亷 置一自乘再乘得一千為减隅併入减亷共七萬八千七百六十為减從之算以减益方餘二十六萬一千八百二十八步八分為從方併益亷共二十八萬八千一百○八步八分為下法 與上法相乘除實二百八十八萬一千○八十八 餘實二百一十五萬七千七百六十未盡
二因减上亷得一十五萬五千五百二十
三因益下亷得七萬八千八百四十為益亷之方四因隅法得四千為方法
又以初商三之以乘益下亷得七千八百八十四為益亷之亷 初商自之六因得六百為隅上亷初商四之得四十為隅下亷
次商八 置一於左上為法 置一乘初减上亷得六萬二千二百○八加入前二因上亷得二十一萬七千七百二十八為减亷 置一乘益亷之亷得六萬三千○七十二步併益亷之方共一十四萬一千九百一十二為益亷之筭 置一自之以乘初益下亷得一萬六千八百一十九步二分併入益亷之筭共一十五萬八千七百三十一步二分為益亷 置一乘隅上亷得四千八百 置一自之以乘隅下亷得二千五百六十 置一自乘再乘得五百一十二為隅法併方法上下亷隅法共一萬一千八百七十二為减隅 併减亷共二十二萬九千六百為减從之筭以减原從餘一十一萬○九百八十八步八分加益亷共二十六萬九千七百二十為下法與上法相乘除實盡
矢除半弦筭得七十二為矢徑差加矢即圓徑倍矢筭以圓徑除之得七步二分為弦背差加弦即弧背 圓徑自之四而三得六千○七十五步以畝約之為畝
解曰求矢者起於弦與徑今不知徑而有殘周故以弦自乘半弦自乘相乘為實方中取圓故四而三之為三乘方實以弦併殘周與半弦筭相乘為從方而從方之中又多一弦筭兩半弦筭及矢自乘再乘之數故以全弦筭與倍半弦筭為上亷併求出矢自乘再乘之數以减之却以弦併殘周為益下亷以求出矢兩度乘之併餘從以為法盖隅與上亷專主於减從而下亷所以益從也
弦筭為平方以弦乘之為立方又以半弦筭乘是為三乘方
正實五百○三萬八千八百四十八乃三乘方數内下亷該除一百五十三萬二千六百四十九步六分從方該除三百五十○萬六千一百九十八步四分從方三十四萬○五百八十八步八分乃立方之數内上亷减一十三萬九千九百六十八隅减五千八百三十二止存一十九萬四千七百八十八步八分以矢十八因之以除實
上亷减從除實用减從開平方法
從方帶上亷一度矢乘之數共三十三萬四千七百五十六步八分以十八因之該正實六百○二萬五千六百二十二步四分欠二百五十一萬九千四百二十四乃上亷减去之數
初商一十 置一為上法 置一乘上亷得七萬七千七百六十以减從方餘二十五萬六千九百九十六步八分與上法相乘除實二百五十六萬九千九百六十八餘實九十三萬六千二百三十○步四分 倍上廉得一十五萬五千五百二十為亷法
次商八 置一為上法 置一乘上亷得六萬二千二百○八併亷法共二十一萬七千七百二十八以減原從餘一十一萬七千○二十八步八分為下法與上法相乘除實盡
從方假作平方形長一十九萬四千七百八十八步八分濶一十八步帶十八因上亷共長三十三萬四千七百五十六步八分 初商十步十因上亷止除七萬七千七百六十少減六萬二千二百○八步計多除正實六十二萬二千○八十 次商濶八步如從方原長該除實一百五十五萬八千三百一十○步八分今止餘實九十三萬六千二百三十○步四分欠六十二萬二千○八十正合初商多除之數 次商倍亷法多減七萬七千七百六十以八因之其數適合此自然之妙凡用減從者俱如此
隅減從用減從開三乘方法
隅立方併從共二十○萬○六百二十○步八分以十八因該正實三百六十一萬一千一百七十四步四分欠一十○萬四千九百七十六乃隅減之數初商一十 置一為上法 置一自乘再乘得一千為方法以減從方餘一十九萬九千六百二十○步八分為下法與上法相乘除實一百九十九萬六千二百○八步餘實一百五十○萬九千九百九十○步四分 四因方法得四千為方法 初商自之六因得六百為上亷初商四之得四十為下亷次商八 置一為上法 置一乘上亷得四千
八百 置一自之以乘下亷得二千五百六十置一自乘再乘得五百一十二為隅法併方亷隅共一萬一千八百七十二為減從以減原從餘一十八萬八千七百四十八步八分為下法與上法相乘除實盡
初商多存長四千八百三十二濶十步共四萬八千三百二十次商多減六千○四十以八因之相合下亷除實
下亷二百六十二步八分十八因之得四千七百三十○步四分為平方積又十八因得八萬五千一百四十七步二分為立方積又十八因得一百五十三萬二千六百四十九步六分為三乘方積
初商一十 置一為上法 置一自之以乘下亷得二萬六千二百八十為下法與上法相乘除實二十六萬二千八百餘實一百二十六萬九千八百四十九步六分 三因下法得七萬八千八百四十為方法 三因初商以乘下亷得七千八百八十四為亷法 次商八置一為上法 置一乘亷法得六萬三千○七十二步置一自之以乘下亷得一萬六千八百一十九步二分併方亷共一十五萬八千七百三十一步二分為下法除盡
方圓術【附】
圓求容方
術曰方徑即圓徑若求圓積四而三之不必立法惟以圓求方其法不一姑録於此盖徑一則圍不止於三所謂圍三徑一者舉其大較耳
圓周五尺中容一斗斗方面幾何
答曰斗面一尺一寸六分六釐【三分釐之二】
術曰七因周得三尺五寸以三歸之
此術載吳信民筭法以周為弦以方為股然七因五尺為三十五未是
圓材徑二尺一寸為方面幾何
答曰方徑一尺四寸五十八分寸之四十九
術曰徑為股自之得四百四十一寸折半平方開之又曰三因徑得六尺三寸七分因之三歸得方面一尺四寸一十分寸之七
圓徑十尺問容方面幾何
答曰容方面七尺
術曰三其徑得三十尺以七寸因之得二十一尺三歸得七尺方圓之術徑一則圍三有奇方五則斜七有奇難以一定之法例之【徑自之折半平方開之多一筭】
圓徑折變
圓周求徑
古法圍三徑一 徽術周一百五十七徑五十密術周二十二徑七
周八十四問徑
古術答曰二十八
術用三歸
徽答曰二十六步【一百五十七分步之一百一十八】術曰周五十因如一百五十七而一
密答曰二十六步【一十一分步之八】
術曰周七因如二十二而一
周八十七【二十五分步之二十三】問徑
古術答曰二十九步【七十五分步之二十三】
術曰分母通其全分子從之得二千一百九十八為實三因分母得七十五為法
徽答曰二十八步
術曰分母通其全分子從之以五十因之得一十○萬九千九百為實 一百五十七因分母得三千九百二十五為法
密答曰二十七步【二百七十五分步之二百六十八】術曰分母乘其全分子從之七因得一萬五千三百八十六置分母以二十二因得五百五十為法不盡者法實俱半約之
假如歷法周天三百六十五度二十五分七十五秒問周天徑幾何
答曰一百二十一度七十五分二十五秒
此以圍三徑一求之
以徽術求之為徑幾何
答曰徑一百一十六度三十二分四十秒【一百五十七分秒之七】
術曰五十因周得一萬八千二百六十二度八十七分五十秒以一百五十七除之
以密術求之為徑幾何
答曰一百一十六度二十一分八十二秒【二十二分秒之二十一】
術曰七因周得二千五百五十六度八十○分二十五秒以二十二除之
圓徑求周
圓徑二十八問周
古法答曰八十四
術用三因
徽答曰八十七步【二十五分步之二十三】
術曰徑一百五十七因得四千三百九十六如五十而一
密答曰八十八步
術曰徑二十二因如七而一
圓徑二十六步【一百五十七分步之一百一十八】問周古法答曰八十步【一百五十七分步之四十】
術曰分母通其全分子從之三因得一萬二千六百為實如分母而一
徽答曰八十四步
術曰分母通其全分子從之又一百五十七因得六十五萬九千四百為實 分母五十因得七千八百五十為法
又曰分母通其全分子從之得四千二百如五十而一
密答曰八十四步【一百五十七分步之一十二】術曰分母通其全分子從之又二十二因得九萬二千四百為實 七因分母得一千○九十九為法
圓徑二十六步【一十一分步之八】問周
古法答曰八十步【一十一分步之二】
術曰分母通其全分子從之得二百九十四又三因得八百八十二為實如分母而一
徽答曰八十三步【二百七十五分步之二百五十四】術曰分母通其全分子從之又一百五十七因得四萬六千一百五十八為實 五十因分母得五百五十為法
密答曰八十四步
術曰分母通其全分子從之又二十二因得六千四百六十八為實 七因分母得七十七為法
又曰分母通其全分子從之倍之得五百八十八如七而一
圓周求積
周八十四問積
古術答曰五百八十八步
術曰周自之得七千○五十六如圓法十二而一徽答曰五百六十一步【一百五十七分步之一百二十三】術曰周自之又二十五因得一十七萬六千四百為實如三百一十四而一
密答曰五百六十一步【一十一分步之三】
術曰周自之七因得四萬九千三百九十二為實如八十八而一
圓周八十七步【二十五分步之二十三】問積
古法答曰六百四十四步【一千八百七十五分步之三百○一】術曰分母通其全分子從之得二千一百九十八自之得四百八十三萬一千二百○四為實 分母自之得六百二十五又十二因得七千五百為法徽答曰六百一十五步【二十五分步之一十一】術曰分母通其全分子從之自乘又以二十五乘之得一億二千○七十八萬○一百為實 分母自乘又以三百一十四乘之得一十九萬六千二百五十為法除之不盡八萬六千三百五十法實皆七千八百五十約之
密答曰六百一十四步【一萬三千七百五十分步之一萬二千一百○七】術曰分母通其全分子從之自乘又七因得三千三百八十一萬八千四百二十八為實 分母自乘又八十八因得五萬五千為法除之不盡四萬八千四百二十八法實皆四約之
周八十八步問積
古法答曰六百四十五步【三分步之一】
術曰周自之得七千七百四十四如十二而一徽答曰六百一十六步【一百五十七分步之八十八】術曰周自乘二十五因得一十九萬三千六百為實如三百一十四而一
密答曰六百一十六步
術曰周自之七因得五萬四千二百○八為實如八十八而一
圓徑求積
圓徑二十八步問積
古術答曰五百八十八步
術曰徑自乘四歸三因
徽答曰六百一十五步【二十五分步之一十一】術曰徑自乘以七十八步半因之得六萬一千五百四十四如百而一
密答曰六百一十六步
術曰徑自乘一十一因得八千六百二十四如一十四而一
圓徑二十六步【一百五十七分步之一百一十八】問積古法答曰五百三十六步【二萬四千六百四十九分步之一萬八千一百三十六】術曰分母通其全分子從之自乘四歸三因得一千三百二十三萬為實分母自之得二萬四千六百四十九為法
徽答曰五百六十一步【二萬四千六百四十九分步之一萬九千三百一十一】術曰分母通其全加分子自乘又以七十八步半乘之得一十三億八千四百七十四萬為實 分母自乘百因得二百四十六萬四千九百為法
密答曰五百六十二步【二萬四千六百四十九分步之七千二百六十二】術曰分母通其全加分子自乘得數又以一十一因之得一億九千四百○四萬為實
分母相乘又十四因之得三十四萬五千○八十六為法除之未盡一十○萬一千六百六十八法實皆一十四約之
圓徑二十六步【一十一分步之八】問積
古法答曰五百三十五步【一百二十一分步之九十二】術曰分母通其全加分子自乘得數四而三之得六萬四千八百二十七為實
分母相乘為法
徽答曰五百六十步【六千○五十分步之四千六百一十三】術曰分母乘其全加分子自乘又以一百五十七乘之得一千三百五十七萬○四百五十二為實 分母自乘二百因之得二萬四千二百為法
密答曰五百六十一步【一十一分步之三】
術曰分母通其全加分子自乘又一十一因之得九十五萬○七百九十六為實 分母自之又十四因之得一千六百九十四為法
圓積求周
圓積五百八十八步問周
古法答曰周八十四步
術曰十二因積平方開之
徽答曰八十五步【一萬七千一百分步之一萬六千五百二十八】術曰積三百一十四因得一十八萬四千六百三十二以二十五除之得七千三百八十五步二八平方開之
密答曰八十五步【一百七十一分步之一百六十七】術曰積八十八因得五萬一千七百四十四七除之得七千三百九十二平方開之
平方還原方自乘以分母乘之得一百二十三萬五千四百七十五 分母子相乘得二萬八千五百五十七為益實併得一百二十六萬四千○三十二為實分母為法除之還原
圓積六百一十六步問周
古法答曰周八十五步【一百七十一分步之一百六十七】術曰十二因積得七千三百九十二為實平方開之徽答曰八十七步【一萬七千五百分步之一萬六千七百九十六】術曰積三百一十四因得一十九萬三千四百二十四以二十五除之得七千七百三十六步九六平方開之不盡者以百因約之
密答曰八十八步
術曰積八十八因得五萬四千二百○八以七除之得七千七百四十四平方開之
圓積五百六十一步【一百五十七分步之一百二十三】問周幾何古法答曰周八十二步【二萬五千九百○五分步之二千七百三十二】術曰分母乘其全加分子得八萬八千二百以圓法十二因之得一百○五萬八千四百為實 以一百五十七為隅法作帶從隅開平方法除之
初商八十 置一於左上為法 置一乘從隅得一萬二千五百六十為隅法與上法相乘除實一百○○萬四千八百餘五萬三千六百未盡 倍隅法得二萬五千一百二十為亷法 約次商二 置一於左次為上法 置一乘從隅得三百一十四併入亷法共二萬五千四百三十四為下法與上法相乘除實五萬○八百六十八 尚餘二千七百三十二倍八十二加一筭以分母乘之為母約之
又術分母通其全加分子十二因之得一百○五萬八千四百又以母乘之得一億六千六百一十六萬八千八百平方開之得一萬二千八百九十 餘實一萬六千七百未盡另寄 將開出之數以分母約之得八十二 仍未盡一十六以分母乘之得二千五百一十二加入寄位共一萬九千二百一十二為不盡之數 倍八十二加一筭得一百六十五以分母乘之得二萬五千九百○五
徽答曰八十四步
術曰分母通其全加分子得八萬八千二百以三百一十四因得二千七百六十九萬四千八百以二十五因分母得三千九百二十五為法除之得七千○五十六平方開之
密答曰八十四步【二千○四十一分步之一百○八】術曰分母通其全加分子得八萬八千二百又八十八因得七百七十六萬一千六百 七因分母作一千○九十九除之得七千○六十二 餘實四百六十二未盡
置七千○六十二平方開之得八十四 餘六未盡以分母通之得九百四十二加前未盡共一千四百○四倍八十四加一筭得一百六十九以分母乘之得二萬六千五百三十三是謂二萬六千五百三十三分步之一千四百○四 法實皆十三約之得二千○四十一分步之一百○八
積四十五步【一十一分步之九】爲密圓周幾何
答曰二十四步
術曰分母乘其全加分子得五百○四以八十八因之得四萬四千三百五十二以七因分母為七十七除得五百七十六平方開之
右四元玉鑑所載不用從隅
圓積求徑
圓積五百八十八步問徑
古法答曰二十八步
積三歸四因平方開之
徽答曰二十七步【八千六百三十五分步之三千一百四十七】術曰積百因得五萬八千八百以七十八步半為從隅平方開之 初商二十置一於左上為法置一乘從隅得一千五百七十為隅法與上法相乘除實三萬一千四百餘實二萬七千四百未盡 倍隅法得三千一百四十為亷法 約次商七 置一於左次為上法 置一乘從隅得五百四十九步半併亷法共三千六百八十九步半為下法與上法相乘除實二萬五千八百二十六步半 餘實一千五百七十三步半 倍二十七加一筭得五十五以七十八步半因之得四千三百一十七步半法實皆倍命之密答曰二十七步【六百○五分步之二百一十三】術曰積一十四因得八千二百三十二以一十一為從隅平方開之 初商二十 置一於左上為法置一乘從隅得二百二十為隅法與上法相乘除實四千四百餘實三千八百三十二 倍隅法得四百四十為亷法 約次商七 置一於左次為上法置一乘從隅得七十七為隅法 併亷隅共五百一十七為下法與上法相乘除實三千六百一十九餘實二百一十三未盡如前法約之
積六百一十五步【二十五分步之一十一】問徑
古法答曰二十八步【四千二百七十五分步之二千七百四十四】術曰分母乘其全加分子得一萬五千三百八十六以四因之得六萬一千五百四十四分母三之為七十五為從隅平方開之餘實二千七百四十四倍開出之數加一算得五十七以從隅因之得四千二百七十五為母約之
徽答曰二十八步
術曰以積分母除分子得四分四釐加全步得六百一十五步四分四釐百之得六萬一千五百四十四為正實以七十八步五分為從隅平方開之
密答曰二十七步【一萬五千一百二十五分步之一萬四千九百二十九】術曰置積以分母通之加分子得一萬五千三百八十六以一十四因之得二十一萬五千四百○四為正實以二百七十五為從隅平方開之 餘實一萬四千九百二十九 倍徑加一算以從隅乘之為分母約之
平圓積四十五步【一十一分步之九】問密圓徑幾何答曰七步【一十一分步之七】
術曰分母乘其全加分子以一十四乘之得七千○五十六平方開之得八十四以一十一除之不盡七還原法曰分母乘七加分子自之又一十一因得七萬七千六百一十六為實 分母自之又一十四因得一千六百九十四為法 除之得四十五餘一千三百八十六法實皆一百五十四約之還原數
黄鍾算附
假如黄鍾之管空容九分問圍圓幾何
答曰圍圓一十○分三釐【二百○七分釐之一百九十一】此以圍三徑一求之十二因積得一百○八平方開之以徽術推之得幾
答曰圍一十○分七釐【二百一十五分釐之五十五】術曰積三百一十四因得二千八百二十六以二十五除之得一百一十三○四平方開之
以密術推之得幾
答曰圍一十○分【一百四十七分分之九十二】術曰積八十八因得七百九十二如七而一得一百一十三【七分之一】平方開之不盡一十三以七因加一為子倍十分加一七因為母命之
黄鍾之管空容九分問徑
答曰徑三分四釐六毫【六百九十三分毫之二百八十四】此用三歸四因平方開之
以徽術求之
答曰徑三分三釐八毫【五十三萬一千四百四十五分毫之三萬一千八百四十六】術曰百因積得九百分以七十八分半為從隅平方法開之 初商三分 置一於左上為法 置一乘從隅得二百三十五分五釐為下法與上法相乘除實七百○六分半餘實一百九十三分半倍隅法得六分為廉法 次商三釐 置一於左上為法 置一併亷法共六十三釐以乘從隅得四千九百四十五釐五毫與上法相乘除實一百四十八分三釐六毫五絲餘實四十五分一釐三毫五絲 倍初次商得六分六釐為亷法三商八毫 置一於左上為法置一併亷法共六分六釐八毫以乘從隅得五百
二十四分三釐八毫與上法相乘除實四十一分九釐五毫○四忽餘實三分一釐八毫四絲六忽 倍商加一算以從隅乘之為分母命之
以密術求之得徑幾
答曰徑三分三釐【七百三十七分釐之六百二十一】術曰一十四因積得一百二十六以一十一為從隅平方開之 初商三分 置一於左上為法 置一乘從隅得三十三分與上法相乘除實九十九分餘實二十七分 倍下法得六分為亷法 次商三釐置一為上法 置一併亷法乘從隅得六百九十
三釐與上法相乘除實二十○分七釐九毫餘實六分二釐一毫 倍商加一算以從隅因之得七百三十七為分母命之
還原曰徑相乘得一十○分八釐九毫以一十一因得一百一十九分七釐九毫加不盡四分二釐一毫得原數
黄鍾之大小不係於此但假此以明數之微妙耳嘗觀儒者之論律管往往泥於數而不察夫理假如黄鍾之實乃十一度三因以起十一律之數律管以三分為損益故十一度三之非實有數也實乃算法中之實耳雖蔡九峯亦謂仲呂之實數不可三其數不行此律之所以止於十二也殊不知五音六律乃天地隂陽自然之理聖人因之製管以宣其聲而又三分損益以定其管之長短使其無相奪倫顧乃以數為造律之本豈不謬哉
律管算附律管以三分損益故止立二三四乘除之法二一如二 二二如四 二三如六
二四如八 二五作一一 二六作一三
二七作一五 二八作一七 二九作二
三一如三 三二如六 三三作一
三四作一三 三五作一六 三六作二
三七作二三 三八作二六 三九作三
四一如四 四二如八 四三作一三
四四作一七 四五作二二 四六作二六
四七作三一 四八作三五 四九作四 右因二歸逢一作四一逢二進一
三歸逢一作三 逢二作六 逢三進一
四歸逢一作二一逢二作四二 逢三作六三
逢四進一 右歸
黄鍾管長九寸 三歸二因
林鍾管長六寸 三歸四因
太簇管長八寸 三歸二因
南呂管長五寸三分 三歸四因
姑洗管長七寸一分 三歸二因
應鍾管長四寸六分六釐 三歸四因
蕤賓管長六寸二分八釐 三歸四因
大呂管長八寸三分七釐六毫 三歸二因
夷則管長五寸五分五釐一毫 三歸四因夾鍾管長七寸四分三釐七毫三絲 三歸二因無射管長四寸八分八釐四毫八絲 三歸四因仲呂管長六寸五分八釐三毫四絲六忽
右術止用九寸損益以定十一律管不必用十一度三因若求變黄鍾就以仲呂之管三歸四因即是不必更用七百二十九乘之數
弧矢算術
